Определение суммарного коэффициента сопротивления по значению пропускной способности $K_V$

При проведении гидравлических расчётов для вычисления потерь полного давления в каком либо элементе трубопровода необходимо иметь значение его суммарного коэффициента сопротивления, который равен сумме значений коэффициента сопротивления трения и коэффициента местного сопротивления.

В справочных данных по запорной арматуре в качестве параметра, характеризующего гидравлическое сопротивление, приводится значение пропускной способности $K_V$.

Пропускная способность элемента трубопровода $K_V$ - значение, равное расходу жидкости, $м^3/ч$, плотностью 1000 $кг/м^3$, протекающей через элемент трубопровода при перепаде давления на нём 0,1 МПа.

Потери давления через суммарный коэффициент сопротивления находятся по формуле:

$$\Delta p = \zeta_{сум} \frac{\rho w^2}{2}$$

отсюда $$\zeta_{сум} = \frac{2 \Delta p}{\rho w^2} \ \ \ \ \ \ (1)$$

где $\zeta_{сум}$ - искомый суммарный коэффициент сопротивления, $\Delta p = 10^5$ Па (см. определение пропускной способности выше) - потери давления, $\rho=1000$ $кг/м^3$ - плотность среды, $w$ - скорость движения среды плотностью 1000 $кг/м^3$ внутри трубопровода на котором установлен рассматриваемый элемент, $м/с$, при объёмном расходе $K_V$.

$$w = Q / F,$$

где $Q$ - объёмный расход среды, $м^3/c$, $F$ - площадь внутреннего сечения трубопровода на котором установлен рассматриваемый элемент, $м^2$.
$K_V$ - это объёмный расход в $м^3/ч$, тогда $Q = K_V/3600$. Подставив выведенные выше выражения в формулу (1), получим:

$$\zeta_{сум} = \frac{2 \cdot 10^5}{1000}\left(\frac{3600 \cdot F}{K_V}\right)^2$$

2e5 / 1000 * 3600**2 / 1e6

2592.0

В итоге искомое выражение принимает вид:

$$\zeta_{сум} = 2592\cdot 10^6 \left(\frac{ F}{K_V}\right)^2$$

где $$F = \frac{\pi(D-2h)^2}{4}\cdot 10^{-6},$$

где $D$ - внешний диаметр трубопровода, мм; $h$ - толщина стенки трубопровода, мм. Например, для трубопровода 108х5: внешний диаметр 108 мм, толщина стенки 5 мм.

Вывод формулы с помощью символьных вычислений

https://habr.com/ru/post/423731/

from sympy import *

Обозначения переменных:
rc - суммарный коэффициент сопротивления $\zeta_{сум}$ (rc - сокращённо от resistance coefficient)
dp - потери давления $\Delta p$, Па
rho - плотность $\rho$, $кг/м^3$
Q - расход, $м^3/с$
Kv - пропускная способность $K_V$, $м^3/ч$
w - скорость $w$, $м/с$
F - площадь внутреннего сечения трубопровода, $м^2$
D - внешний диаметр трубы, $мм$
h - толщина стенки трубы, $мм$

#Создаём символьные переменные
Q, Kv, w, F = symbols('Q K_V w F')
D, h, pi = symbols('D h pi')

dp = 1e5 #из определения Kv, Па
rho = 1e3 #из определения Kv, кг/м3

F = pi * (D - 2 * h) ** 2 / 4 * 1e-6
F

$\displaystyle 2.5 \cdot 10^{-7} \pi \left(D - 2 h\right)^{2}$

Q = Kv / 3600
Q

$\displaystyle \frac{K_{V}}{3600}$

w = Q / F
w

$\displaystyle \frac{1111.11111111111 K_{V}}{\pi \left(D - 2 h\right)^{2}}$

#Записываем формулу (1)
rc = 2 * dp / (rho * w **2)
#и выводим окончательный результат
rc

$\displaystyle \frac{0.000162 \pi^{2} \left(D - 2 h\right)^{4}}{K_{V}^{2}}$

#Присваиваем pi числовое значение и обновляем выражения, где фигурировало pi
import math #возьмём значение pi из модуля math
pi = math.pi 
F = pi * (D - 2 * h) ** 2 / 4 * 1e-6
F

$\displaystyle 7.85398163397448 \cdot 10^{-7} \left(D - 2 h\right)^{2}$

w = Q / F
w

$\displaystyle \frac{353.677651315323 K_{V}}{\left(D - 2 h\right)^{2}}$

#формула для вычисления суммарного коэффициента сопротивления по Kv
rc = 2 * dp / (rho * w **2)

Для D и h, выраженных в миллиметрах

rc

$\displaystyle \frac{0.00159887591297648 \left(D - 2 h\right)^{4}}{K_{V}^{2}}$

Для D и h, выраженных в метрах

rc * 1e3 ** 4

$\displaystyle \frac{1598875912.97648 \left(D - 2 h\right)^{4}}{K_{V}^{2}}$

Проведение расчётов с помощью символьных вычислений

#Можно найти значение коэффициена сопротивления для конкретных значений Kv, D, h
rc.subs([(D, 108), (h, 5), (Kv, 100)])

$\displaystyle 14.7475223392043$

#Зависимость коэффициена сопротивления от Kv для трубопровода 108х5
rc_Kv = rc.subs([(D, 108), (h,5)])
rc_Kv

$\displaystyle \frac{147475.223392043}{K_{V}^{2}}$

Kvs = list(range(10, 101, 5))
rcs = []
for kv in Kvs:
    rcs.append(rc_Kv.subs(Kv, kv)) 

Kvs #м3/ч

[10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90, 95, 100]

rcs

[1474.75223392043,
 655.445437297970,
 368.688058480108,
 235.960357427269,
 163.861359324492,
 120.387937462892,
 92.1720146200270,
 72.8272708108856,
 58.9900893568173,
 48.7521399643118,
 40.9653398311231,
 34.9053783176434,
 30.0969843657231,
 26.2178174919188,
 23.0430036550068,
 20.4117956251963,
 18.2068177027214,
 16.3407449741876,
 14.7475223392043]

#Создадим таблицу
import pandas as pd

table = pd.DataFrame({'Kv, м3/ч': Kvs, '$\zeta_{сум}$': rcs})
table

	Kv, м3/ч	$\zeta_{сум}$
0	10	1474.75223392043
1	15	655.445437297970
2	20	368.688058480108
3	25	235.960357427269
4	30	163.861359324492
5	35	120.387937462892
6	40	92.1720146200270
7	45	72.8272708108856
8	50	58.9900893568173
9	55	48.7521399643118
10	60	40.9653398311231
11	65	34.9053783176434
12	70	30.0969843657231
13	75	26.2178174919188
14	80	23.0430036550068
15	85	20.4117956251963
16	90	18.2068177027214
17	95	16.3407449741876
18	100	14.7475223392043

#Сохранение результатов расчёта в csv-файл:
#table.to_csv('Коэффициент сопротивления от Kv.csv', sep = ';')
#Сохранение результатов расчёта в html-файл:
#table.to_html('Коэффициент сопротивления от Kv.html')

#Нарисуем график
import matplotlib.pyplot as plt

plt.plot(Kvs, rcs, 'o-')
plt.title('Зависимость $\zeta_{сум}$ от $K_V$ для трубопровода 108х5' )
plt.xlabel('$K_V, м^3/ч$'); plt.ylabel('$\zeta_{сум}$')
plt.xlim (0,100), plt.ylim (0,)
plt.grid()

Инженерные расчёты на Python, С.В. Медведев, 2020
Использование Python и Jupyter Notebook для инженерных расчётов, С.В. Медведев, 2020