Расчёт потерь давления (напора) в трубе

Величина потерь давления (напора) при движении в трубе потока рабочей среды характеризуется коэффициентом сопротивления трения единицы относительной длины. В прямой трубе имеются потери давления только от трения, поэтому коэффициент гидравлического сопротивления равен коэффициенту сопротивления трения: $$\zeta = \zeta_{тр} = \lambda \bar{l};\,\bar{l} = l / D;\,\Delta H = \zeta \frac{w^2}{2g};\,\,\, \Delta p = \zeta \frac{\rho w^2}{2}$$ где $\lambda$ - коэффициент сопротивления трения единицы относительной длины, $l$ - длина трубы, м; $D$ - внутренний диаметр трубы, м, $\Delta H$, $\Delta p$ - потери даления в метрах столба жидкости и в Па соответственно, $w$ - скорость движения рабочей среды, м/с; $\rho$ - плотность рабочей среды $кг/м^3$; $g = 9.80665\, м/с^2$ - ускорение свободного падения.
Потери давления от трения зависят от шероховатости внутренних стенок трубы, вязкости рабочей среды, скорости движения рабочей среды и режима течения в трубе.
Шероховатость задаётся значением относительной шероховатости: $$\bar{\Delta} = \Delta / D,$$ где $\Delta$ - абсолютная шероховатость, м.
Режим течения в трубе определяется числом Рейнольдса:
$$Re = \frac{wD}{\nu},$$ где $w$ - скорость, м/с; $\nu$ - кинематическая вязкость, $м^2/с$.

При реализации приведённой в [1] расчётной методики приняты следующие допущения:

1. Рабочая среда - вода температурой 20 С;
2. Трубы круглого сечения с неравномерной шероховатостью стенок (технические трубы) или гладкие трубы;
3. Для технических труб должно выполняться условие $Re > 2090 \cdot \bar\Delta^{-\, 0.0635} $ (стр. 88 в [1], формула для $Re_2$);
4. Для гладких труб должно выполняться условие $Re > 4000$ (стр. 85 в [1]);
5. Точка перехода течения в режим квадратичного закона сопротивления $Re = 560 / \bar{\Delta}$ (стр. 93 в [1]).

Все созданные для реализации данной расчётной методики функции включены в модуль hydrcalc (скачать версию 1). Пример использования основной расчётной функции calc_dH см.здесь. Описание всех функций модуля hydrcalc приведены здесь.

Проверка корректности реализации методики расчёта гидравлического сопротивления труб

import numpy as np
from hydrcalc import calc_lambda

#Функция для тестирования и сравнения полученных результатов с данными из [1] стр. 91 - 92
def test_lamb(Re, delta):
    w = 3 #скорость, м/с
    kvisc = 1e-6 #кинематическая вязкость воды при t = 20 C, м2/с
    D = Re * kvisc / w #внутренний диаметр трубы, м
    Delta = delta * D #шероховатость стенок трубы, м
    return calc_lambda(w, D, Delta)

#Набор чисел Рейнольдса
Res = np.array([3e3, 4e3, 6e3, 1e4, 2e4, 4e4, 6e4, 1e5, 2e5, 4e5, 6e5, 1e6, 2e6, 4e6, 1e7, 2e7, 1e8])
#Набор относительных шероховатостей
deltas = np.array([.05, .04, .03, .02, .015, .01, .008, .006, .004, .002, .001,
                   .0008, .0006, .0004, .0002, .0001, .00005, .00001, .000005 ])
lambs = np.zeros([deltas.shape[0], Res.shape[0]]) #массив для хранения результатов вычисления
for i, delta in enumerate(deltas):
    for j, Re in enumerate(Res):
        try: #чтобы не вызывать остановку выполнения при выпадении Re из допустимого диапазона
            #вычисляем коэффициент сопротивления трения единицы относительной длины
            lambs[i,j] = test_lamb(Re, delta) 
        except ValueError: #если Re вне допустимого диапазона
            lambs[i,j] = None

#Создандим таблицу для сравнения с таблицей в [1] стр. 91 - 92
import pandas as pd
columns =[]
myformat = "{:.0e}"
for Re in Res:
    columns.append(myformat.format(Re))
table = pd.DataFrame(np.round(lambs,3), index = deltas, columns = columns)
table
#Заголовки строк - относительная шероховатость, заголовки столбцов - число Рейнольдса

	3e+03	4e+03	6e+03	1e+04	2e+04	4e+04	6e+04	1e+05	2e+05	4e+05	6e+05	1e+06	2e+06	4e+06	1e+07	2e+07	1e+08
0.050000	0.079	0.077	0.075	0.074	0.073	0.072	0.072	0.072	0.072	0.072	0.072	0.072	0.072	0.072	0.072	0.072	0.072
0.040000	0.073	0.071	0.069	0.067	0.066	0.065	0.065	0.065	0.065	0.065	0.065	0.065	0.065	0.065	0.065	0.065	0.065
0.030000	0.066	0.064	0.062	0.060	0.059	0.058	0.058	0.057	0.057	0.057	0.057	0.057	0.057	0.057	0.057	0.057	0.057
0.020000	0.059	0.057	0.054	0.052	0.051	0.050	0.049	0.049	0.049	0.049	0.049	0.049	0.049	0.049	0.049	0.049	0.049
0.015000	0.056	0.053	0.050	0.048	0.046	0.045	0.044	0.044	0.044	0.044	0.044	0.044	0.044	0.044	0.044	0.044	0.044
0.010000	0.052	0.049	0.046	0.043	0.041	0.039	0.039	0.039	0.038	0.038	0.038	0.038	0.038	0.038	0.038	0.038	0.038
0.008000	0.050	0.047	0.044	0.041	0.038	0.037	0.036	0.036	0.036	0.035	0.035	0.035	0.035	0.035	0.035	0.035	0.035
0.006000	0.049	0.046	0.042	0.039	0.036	0.034	0.033	0.033	0.033	0.032	0.032	0.032	0.032	0.032	0.032	0.032	0.032
0.004000	0.047	0.044	0.040	0.036	0.033	0.031	0.030	0.030	0.029	0.029	0.029	0.029	0.028	0.028	0.028	0.028	0.028
0.002000	NaN	0.042	0.038	0.034	0.030	0.027	0.026	0.025	0.024	0.024	0.024	0.024	0.024	0.023	0.023	0.023	0.023
0.001000	NaN	0.041	0.037	0.032	0.028	0.025	0.023	0.022	0.021	0.020	0.020	0.020	0.020	0.020	0.020	0.020	0.020
0.000800	NaN	0.041	0.036	0.032	0.028	0.024	0.023	0.021	0.020	0.019	0.019	0.019	0.019	0.019	0.019	0.019	0.019
0.000600	NaN	0.041	0.036	0.032	0.027	0.024	0.022	0.021	0.019	0.018	0.018	0.018	0.018	0.018	0.017	0.017	0.017
0.000400	NaN	0.040	0.036	0.031	0.027	0.023	0.022	0.020	0.018	0.017	0.017	0.016	0.016	0.016	0.016	0.016	0.016
0.000200	NaN	0.040	0.036	0.031	0.026	0.023	0.021	0.019	0.017	0.016	0.015	0.015	0.014	0.014	0.014	0.014	0.014
0.000100	NaN	0.040	0.036	0.031	0.026	0.022	0.020	0.019	0.016	0.015	0.014	0.013	0.013	0.012	0.012	0.012	0.012
0.000050	NaN	0.040	0.036	0.031	0.026	0.022	0.020	0.018	0.016	0.014	0.013	0.013	0.012	0.011	0.011	0.011	0.011
0.000010	NaN	NaN	0.036	0.031	0.026	0.022	0.020	0.018	0.016	0.014	0.013	0.012	0.011	0.010	0.009	0.009	0.008
0.000005	NaN	NaN	0.036	0.031	0.026	0.022	0.020	0.018	0.016	0.014	0.013	0.012	0.011	0.010	0.009	0.008	0.007

import matplotlib.pyplot as plt
#Настройки, общие для всех графиков
plt.rcParams['font.size'] = 12
plt.rcParams['axes.grid'] = True
plt.rcParams['legend.shadow'] = False
plt.rcParams['figure.figsize'] = (11,5)

#Построим зависимость коэффициента сопротивления трения единицы
#относительной длины от внутреннего диаметра трубы
Deltas = np.array([0, 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5]) * 1e-3 #абсолютная шероховатость труб, м
kvisc = 1e-6 #кинематическая вязкость (вода при 20 С)
w = 2 #скорость рабочей среды
Ds = np.linspace(40, 200, 101)
lambs = np.zeros((Deltas.shape[0], Ds.shape[0]), dtype = float)
for i, Delta in enumerate(Deltas):
    for j, D in enumerate(Ds):
        D /= 1e3
        lambs[i,j] = calc_lambda(w, D, Delta)

fig, ax = plt.subplots(figsize = (11,5))
for i, Delta in enumerate(Deltas):
    ax.plot(Ds, lambs[i,:], label = Delta * 1e3)
ax.set_xlim(40, 200); ax.set_ylim(0,)
ax.set_xlabel("$D$, мм"); ax.set_ylabel("$\lambda$")
ax.legend(ncol=2, title="Шероховатость, мм")
ax.set_title('Зависимость коэффициента сопротивления трения единицы \n \
относительной длины от внутреннего диаметра трубы (скорость потока 2 м/с)');

#Построим зависимость коэффициента сопротивления трения единицы
#относительной длины от скорости движения воды в трубе
Delta = 0.3e-3
ws = np.linspace(0.5, 3, 51)
Ds = np.array([50, 100, 200, 400, 800])
#deltas = Delta / (Ds / 1000)
lambs = np.zeros((Ds.shape[0], ws.shape[0]), dtype = float)
for i, D in enumerate(Ds):
    D /= 1e3
    for j, w in enumerate(ws):
        lambs[i,j] = calc_lambda(w, D, Delta)
        #Re[i,j] = fRe(w, D, kvisc)
fig, ax = plt.subplots()
for i, D in enumerate(Ds):
    ax.plot(ws, lambs[i,:], label = D)
ax.set_xlim(0.5, 3); ax.set_ylim(0.015,0.04)
ax.legend(ncol=5, title = 'Внутренний диаметр трубы, мм')
ax.set_xlabel("$w$, м/c"); ax.set_ylabel("$\lambda$")
ax.set_title("Зависимость коэффициента сопротивления трения единицы относительной \n \
         длины от скорости движения воды в трубе (шероховатость 0,3 мм)");

Учёт перехода к режиму квадратичного закона сопротивления

Согласно стр. 92 в [1] при $Re > 560 / \bar{\Delta}$ течение жидкости переходит в режим квадратичного закона сопротивления.

#Построим зависимость коэффициента сопротивления трения единицы
#относительной длины от скорости движения воды в трубе с параметром функции calc_lambda 
#quadr со значением False (без перехода к квадратичному закону сопротивления, 
#по умолчанию) и quadr=True (с переходом к квадратичному закону сопротивления)
D = 50e-3 # внутренний диаметр трубы, м
Delta = 0.3e-3 # шероховатость, м
lambs = np.zeros_like(ws) #результат расчёта без перемены формулы при Re>Re_кв (стр. 90 в [1])
lambqs = np.zeros_like(ws) #результат расчёта с переменой формулы при Re>Re_кв (стр. 92 в [1])
for i, w in enumerate(ws):
    lambs[i] = calc_lambda(w, D, Delta)
    lambqs[i] = calc_lambda(w, D, Delta, quadr = True)
fig, ax = plt.subplots()
ax.plot(ws, lambs, label = 'Без перехода к квадратичному закону сопротивления')
ax.plot(ws, lambqs, label = 'С переходом к квадратичному закону сопротивления')
ax.set_xlim(0.5, 3); ax.set_ylim(0.032, )
ax.set_xlabel("$w$, м/c"); ax.set_ylabel("$\lambda$")
plt.legend();

Режим квадратичного закона сопротивления возникает при $$Re_{кв} = \frac{560}{\bar{\Delta}} $$ Найдём выражение для скорости, при которой возникает режим квадратичного закона сопротивления

$$Re_{кв} = \frac{560 D}{\Delta};\, Re_{кв} = \frac{w_{кв}D}{\nu};\, w_{кв} = \frac{560\nu}{\Delta}$$

В модуле hydrcalc есть функция calc_w_q(Delta, kvisc), которая возвращает значение скорости, при котором течение переходит в режим квадратичного закона сопротивления.

from hydrcalc import calc_w_q

#Определим относительную разницу в результах расчёта по разным формулам при Re > Re_кв
Deltas = np.array([0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5]) * 1e-3 #абсолютная шероховатость стенок, м
kvisc = 1e-6 #кинематическая вязкость (вода при 20 С), м/с2
Ds = np.linspace(20, 1400, 101) #внутренние диаметры труб, мм
#Относительная разница результатов расчётов в процентах
errs = np.zeros((Deltas.shape[0], Ds.shape[0]), dtype = float) 
for i, Delta in enumerate(Deltas):
    wq = calc_w_q(Delta, kvisc) * 1.0001
    for j, D in enumerate(Ds):
        D /= 1e3 # перевод в метры
        lamb = calc_lambda(wq, D, Delta)
        lambq = calc_lambda(wq, D, Delta, quadr = True)
        errs[i,j] = (lamb/lambq -1 ) * 100

fig, ax = plt.subplots()
for i, Delta in enumerate(Deltas):
    ax.plot(Ds, errs[i][:], label = Delta * 1e3)
ax.set_xlim(0, 1400); ax.set_ylim(2.68, )
ax.legend(title="Шероховатость, мм")
ax.set_xlabel("$D$, мм"); ax.set_ylabel("$\delta$, %");

С параметром quadr = False (по умолчанию) функция calc_lambda при $Re > 560 D/\bar{\Delta}$ будет возвращать значение $\lambda$ на 3% больше по сравнению с формулой на стр. 92 в [1] для режима квадратичного закона сопротивления.

Режим квадратичного закона сопротивления (стр. 93 в [1])

deltas = [.00005, .0001, .0002, .0003, .0004, .0005, .0006, .0007, .0008, .0009, .001, .002, .003,
         .004, .005, .006, .008, .01, .015, .020, .025, .03, .035, .04, .045, .05]
lambs = []
lambsq = []
D = 100.
for i, delta in enumerate(deltas):
    Delta = delta * D
    wq = calc_w_q(Delta, kvisc) * 1.0001 
    lambs.append(calc_lambda(wq, D, Delta))
    lambsq.append(calc_lambda(wq, D, Delta, quadr = True))
fig, ax = plt.subplots()
ax.set_xlim(0., .05); ax.set_ylim(0.,lambs[-1])
ax.plot(deltas, lambs, label = 'False')
ax.plot(deltas, lambsq, label = 'True')
ax.legend(title="Значение параметра quadr\nв функции calc_lambda")
ax.set_xlabel("$\overline{\Delta}$"); ax.set_ylabel("$\lambda$")
ax.set_title("Режим квадратичного закона сопротивления");

Пример использования функции calc_dH

from hydrcalc import calc_dH

D_внешн = 89 #внешний диаметр трубы, мм
h = 3.5 #толщина стенки трубы, мм
D = D_внешн - 2 * h #внутренний диаметр, мм
D *= 1e-3 #перевод в метры
Q = 50 #объёмный расход, м3/ч
L = 100 #длина трубопровода, м
Delta=0.3e-3 #шероховатость стенок трубы, м

dH = calc_dH(Q, D, L, Delta=0)
print(f"Потери давления на {L} метрах трубы {D_внешн}х{h} с шероховатостью стенок {Delta*1e3} мм " + 
      f"при расходе {Q} м3/ч составляют {round(dH, 1)} метров водяного столба.")

Потери давления на 100 метрах трубы 89х3.5 с шероховатостью стенок 0.3 мм при расходе 50 м3/ч составляют 6.8 метров водяного столба.

Описание всех функций модуля hydrcalc

import hydrcalc
help(hydrcalc)

Help on module hydrcalc:

NAME
    hydrcalc

DESCRIPTION
    В модуле размещёны функции для расчёта коэффициентов гидравлического сопротивления следующих элементов трубопровода:
    1. Прямые круглые трубы (гладкие и с неравномерной шероховатостью)

FUNCTIONS
    calc_Re(w, D, kvisc=1e-06)
        Вычисление числа Рейнольдса
        w: скорость, м/с
        D: внутренний диаметр трубы, м
        kvisc: кинематическая вязкость, м2/с (по умолчанию - вязкость воды при 20 С)
    
    calc_dH(Q, D, L, Delta=0, kvisc=1e-06, quadr=False)
        Расчёт потерь давления, метры столба жидкости
        Q: объёмный расход, м3/ч
        D: внутренний диаметр трубы, м
        L: длина трубы, м
        Delta: абсолютная шероховатость, м (по умолчанию - отсутствие шероховатости, гладкая труба)
        kvisc: кинематическая вязкость, м2/с (по умолчанию - вязкость воды при 20 С)
        quadr: False (по умолчанию) - не происходит смены формулы при Re>560/delta,
        True - при Re>560/delta применяется формула для квадратичного закона сопротивления
    
    calc_frc(Q, D, L, Delta=0, kvisc=1e-06, quadr=False)
        Расчёт коэффициента сопротивления трения
        Q: объёмный расход, м3/ч
        D: внутренний диаметр трубы, м
        L: длина трубы, м
        Delta: абсолютная шероховатость, м (по умолчанию - отсутствие шероховатости, гладкая труба)
        kvisc: кинематическая вязкость, м2/с (по умолчанию - вязкость воды при 20 С)
        quadr: False (по умолчанию) - не происходит смены формулы при Re>560/delta,
        True - при Re>560/delta применяется формула для квадратичного закона сопротивления
    
    calc_frc_w(w, D, L, Delta=0, kvisc=1e-06, quadr=False)
        Расчёт коэффициента сопротивления трения
        w: скорость, м/с
        D: внутренний диаметр трубы, м
        L: длина трубы, м
        Delta: абсолютная шероховатость, м (по умолчанию - отсутствие шероховатости, гладкая труба)
        kvisc: кинематическая вязкость, м2/с (по умолчанию - вязкость воды при 20 С)
        quadr: False (по умолчанию) - не происходит смены формулы при Re>560/delta,
        True - при Re>560/delta применяется формула для квадратичного закона сопротивления
    
    calc_lambda(w, D, Delta=0, kvisc=1e-06, quadr=False)
        Расчёт коэффициента сопротивления трения единицы относительной длины
        w: скорость, м/с
        D: внутренний диаметр трубы, м
        Delta: абсолютная шероховатость, м (по умолчанию - отсутствие шероховатости, гладкая труба)
        kvisc: кинематическая вязкость, м2/с (по умолчанию - вязкость воды при 20 С)
        quadr: False (по умолчанию) - не происходит смены формулы при Re>560/delta,
        True - при Re>560/delta применяется формула для квадратичного закона сопротивления
    
    calc_w(Q, D)
        Определение скорости по объёмному расходу
        Q: объёмный расход, м3/ч
        D: внутренний диаметр трубы, м
    
    calc_w_q(Delta, kvisc)
        Возвращает скорость, при которой течение переходит в режим квадратичного закона сопротивления
        Delta: абсолютная шероховатость, м
        kvisc: кинематическая вязкость, м2/с
    
    fRe_lowmarg_pipe(delta)
        Определение нижней границы допустимого диапазона числа Re расчётной модели для труб
        delta: относительная шероховатость
    
    log10(x, /)
        Return the base 10 logarithm of x.
    
    sqrt(x, /)
        Return the square root of x.

DATA
    __copyright__ = 'Сергей Медведев, 2020'
    __email__ = 'medsv@yandex.ru'
    __license__ = 'GPL'
    __maintainer__ = 'Сергей Медведев'
    __status__ = 'Production'
    g = 9.80665
    pi = 3.141592653589793

VERSION
    1.0

AUTHOR
    Сергей Медведев

FILE
    /home/medsv/dzen/0023_Сопротивление_труб/hydrcalc.py

Ссылки

1. И.Е. Идельчик. Справочник по гидравлическим сопротивлениям. 3-е издание переработанное и дополненное. Москва. "Машиностроение". 1992 г.

Инженерные расчёты на Python, С.В. Медведев, 2020
Использование Python и Jupyter Notebook для инженерных расчётов, С.В. Медведев, 2020